ان نموذج الانحدار المتعدد هو عبارة عن انحدار للمتغير التابع ( Y ) على العديد من المتغيرات المستقلة X 1 , X 2 , ...X K ويسمى هذا بنموذج الانحدار الخطي المتعدد , Multiple Linear Regression .

ويهدف هذا المقال إلى توضيح كيفية تقدير نموذج الانحدار الخطي المتعدد , , ثم تحديد أهم افتراضات النموذج , يضاف إلي ذلك بيان عدم وجود علاقة خطية تامة بين المتغيرات المستقلة وكيف أن المصفوفة ( X ) , تكون مصفوفة غير شاذة ( Non – Singular ) إذا كان محددها لا يساوي صفرا . ثم يتم بعد ذلك تقدير معلومات النموذج , تقدير التباين والتباين المشترك والانحراف المعياري لها للوصول إلى اختبار معاملات النموذج .

نموذج الانحدار الخطي المتعدد :

يستند النموذج الخطي المتعدد على افتراض وجود علاقة خطية بين متغير تابع Y i وعدد من المتغيرات المستقلة X 1,X 2,...X K وحد عشوائي U i , ويعبر عن هذه العلاقة , بالنسبة ل n من المشاهدات و k من المتغيرات المستقلة , بالشكل آلاتي :

Y i = B 0 + B 1X i1 + B 2X i1 + … + B KX ik + U i …. (1)

وفي واقع الآمر فان هذه المعادلة هي واحدة من جملة معادلات يبلغ عددها ( n ) تكون نظام المعادلات آلاتي :

Y 1 = B 0 + B 0X 11 + B 2X 12 + … + B KX 1K + U 1

Y 2 = B 0 + B 1X 21 + B 2X 22 + … B KX 2K + U 2

. . .. .. … … … ..

…. .. .. .. … … … ..

Y n = B 0 + B 1X n1 + B 2X n2 + … + B KX nK + U n

هذه المعادلة تتضمن (1+ k ) من المعلومات المطلوب تقديرها علما بان الحد الأول منها ( B 0 ) يمثل الحد الثابت , الآمر الذي يتطلب اللجوء إلى المصفوفات والمتجهات لتقدير تلك المعلمات. عليه يمكن صياغة هذه المعادلات في صورة مصفوفات وكآلاتي :

= + …. ( 2 )

وباختصار

Y = XB + U

Y : متجه عمودي أبعاده (1+ n ) يحتوي مشاهدات المتغير التابع .

X : مصفوفة أبعادها (1+ k × n ) تحتوي مشاهدات المتغيرات المستقلة يحتوي عمودها الأول على قيم الواحد الصحيح ليمثل الحد الثابت .

B : متجه عمودي أبعاده ( 1× 1 + K ) يحتوي على المعالم المطلوب تقديرها .

U : متجه عمودي أبعاده (1× n ) يحتوي على الأخطاء العشوائية .

وبما أن المعادلة ( 1 ) هي العلاقة الحقيقية المجهولة والمراد تقديرها باستخدام الإحصاءات المتوفرة عن المتغير التابع , Y , والمتغيرات المستقلة , X 1,X 2,..X K , فانه يستوجب تحقق الفروض الأساسية الخاصة ب U i التالية :

U i ~ N ( 0 , I n )

والذي يعني أن U i يتوزع توزيعا طبيعيا ( N ) متعدد المتغيرات لمتجه وسطه صفري (0) ومصفوفة تباين وتباين مشترك عددية هي ( In ) .

فرضيات النموذج الخطي المتعدد :

عند استخدام طريقة OLS في تقدير نموذج الانحدار الخطي المتعدد , فانه يجب توافر الافتراضات آلاتية :

1- القيمة المتوقعة لمتجه حد الخطا تساوي صفرا أي أن , 0 = ( U i ) E :

E (Ui) = E = =

2- تباين العناصر العشوائية ثابت , والتباين المشترك بينها يساوي صفرا , أي أن :

Cov (U) = E ( U ) = In

E ( U ) = E

= E

var (Ui) = E( ) =

Cov ( , I # j

حيث أن : = ....... = =

وتسمى المصفوفة العددية أعلاه بمصفوفة التباين والتباين المشترك – Variance Covariance Matrix لحد الخطا U , حيث تشكل العناصر القطرية في المصفوفة , تباين قيم U بينما تبقى العناصر غير القطرية ( أعلى واسفل القطر ) مساوية للصفر لانعدام التباين المشترك والترابط بين قيم U i .

3- ليس هناك علاقة خطية تامة بين المتغيرات المستقلة كما وان عدد المشاهدات يحجب أن يزيد على عدد المعلمات المطلوب تقديرها , أي أن :

R (x) = k + 1 < n

حيث أن ( r ) رتبة مصفوفة البيانات , ( x ) عدد المتغيرات المستقلة ( k ) زائدا (1) الحد الثابت , وهي اصغر من عدد المشاهدات ( n ) . وهذه الفرضية ضرورية جدا لضمان أيجاد معكوس المصفوفة ( ) , إذ أن انتفاء هذا الفرض يجعل رتبة المصفوفة ( X ) اقل من ( 1+ K ) وبالتالي فان رتبة ( ) التي تستخدم في الحصول على مقدرات OLS بدورها اقل من (1+ K ) ولايمكن أيجاد معكوسها بسبب ما يسمى بمشكل الارتباط الخطي المتعدد , وبالتالي لايمكن الحصول على مقدرات المربعات الصغرى العادية , OLS .

طرق تقدير معلمات النموذج :

في ضوء الفرضيات المذكورة أعلاه يمكن استخدام طريقة OLS في تقدير معلمات النموذج الخطي المتعدد , ولهذا الغرض يمكن كتابة المعادلة ( 1 ) بصيغتها التقديرية كآلاتي :

ولما كان هدفنا هو الحصول على قيم كل من التي تجعل مجموع مربعات الانحرافات اقل ما يمكن , أي تصغير القيمة ( مبدا المربعات الصغرى ) إلى اقل قيمة ممكنة , أي :

Min

ومن خلال التعويض عن بما يساويها واخذ المشتقات الجزئية بالنسبة إلى ومساواتها بالصفر نحصل على :

-2

بالقسمة على (-2) وفك القوس , نحصل :

(3)

بالقسمة (-2) وفك القوس , نحصل :

(4)

بالقسمة على (-2) وفك القوس , نحصل :

(5)

وتمثل المعادلات (3) , (4 ) و (5) المعادلات الطبيعية الثلاث التي تستخدم في تقدير المعالم الثلاثة المجهولة . أن هذه المعادلات , يمكن حلها بإحدى الطرق آلاتية :

أولا : طريقة المحددات :

ويمكن أن تحل هذه المعادلات بواسطة قاعدة كرا يمر للحصول على قيم من المعلمات وعلى النحو آلاتي :

ومن النظام أعلاه , يمكن أيجاد المحددات آلاتية :

|D| =

|N 1| =

|N2| =

أما بالنسبة ل فيتم الحصول عليه عن طريق :

ثانيا : طريقة الانحرافات :

ويمكن تقدير معاملات الانحدار المتعدد باستخدام أسلوب الانحرافات أو ما يسمى بالمتوسطات , أي انحرافات القيم الأصلية عن وسطها وكآلاتي :

ولهذا الغرض نأخذ نموذج يحتوي متغيرين مستقلين X1 و X2 :

وبآخذ المتوسط لهذه المعادلة :

اثبات أن :

وبادخال على طرفي المعادلة اعلاه , نحصل على :

وبالقسمة على n :

(6) ........

...... (7)

(8)..........

وبطرح المعادلة (8) من المعادلة (6) نحصل :

وبعد الاختصار في الطرف الايمن , نحصل :

ومنها يكون :

yi = ( I=1,2,3,……,n ) …( 9 )

وفي واقع الأمر فان المعادلة أعلاه هي واحدة من جملة معادلات يبلغ عددها n معادلة تكون نظام المعادلات التالي :

Y 1 =

Y 2 =

…. ………. ………

y n =

ويمكن التعبير عن المعادلات أعلاه في هيئة مصفوفة وكما يلي :

حيث يمكن التعبير عن ذلك بصيغة المصفوفات :

Y = x

حيث أن :

Y : متجه عمودي أبعاده ( 1× n ) يحتوي على انحرافات قيم المتغير التابع .

X : مصفوفة أبعادها ( 1 – k × n ) تحتوي على انحرافات قيم المتغيرات المستقلة حيث أنها لا تتضمن العمود الأول الذي يمثل الحد الثابت . حيث يمكن بذلك استخراج الحد الثابت من خارج المصفوفة باستخدام القانون آلاتي :

: متجه عمودي أبعاده ( 1× 1 – K ) تحتوي على المعالم المجهولة .

E : متجه عمودي أبعاده ( 1× n ) يحتوي على البواقي .

ويمكن التوصل الى مصفوفة الانحرافات باتباع الخطوات التالية :

باعادة كتابة المعادلة ( 4 . 7 ) على النحو الاتي :

ولما كانت افضل طريقة للحصول على اصغر قيمة ممكنة للانحرافات تتم بواسطة تربيعها وبجعل مجموع مربعاتها اصغر ما يمكن . وبأخذ المشتقة الجزئية لها بالنسبة لكل منومساواتها بالصفر نحصل على :

وبالقسمة على (-2) وفك القوس , نحصل على :

( 10 ) ...

وبالقسمة على (-2) وفك القوس , نحصل :

...(11)

ويمكن صياغة المعادلتين أعلاه على شكل مصفوفة وكآلاتي :

ومن النظام أعلاه , يمكن إعادة كتابته بالشكل التالي :

وعليه فان تقدير المعالم باستخدام المصفوفة بأسلوب الانحرافات يأخذ الصيغة التالية :

وبعد احتساب المتجه ومحدد المصفوفة الذي ينبغي أن لا يساوي صفرا نوجد مقلوب المصفوفة الذي هو عبارة عن ومن ثم تطبيق القانون أعلاه . أما فيمكن حسابه بموجب القانون آلاتي :

هذا ويمكن استخراج القيم بالانحرافات دون الرجوع إلى البيانات الأصلية وكما مبين أدناه :

وبعد استخدام الحاسوب , فقد اصبح من السهل على الباحث الاقتصادي أن يحصل على النتائج من خلال أجادته استخدام إحدى البرمجيات الإحصائية أمثال EXCEL , SPSS , , ولايحتاج إلى استخدام الصيغ أعلاه في الجوانب التطبيقية , ولكن تم عرضها هنا لمعرفة كيفية عمل الانحدار المتعدد.

اختبار الفرضيات لنموذج الخطي المتعدد :

يهدف هذا البحث إلى توسيع معارفنا الأساسية لنموذج الانحدار وذلك بأجراء اختبار معنوية الانحدار المتعدد والمقدر باستخدام توزيع اختبار إحصاءه F ومقارنته باختبار t ومن ثم تقييم كفاءة الأداء العام لنموذج الانحدار المتعدد ومقارنته بمعامل التحديد المقدر المعدل , وكذلك اختبار العلاقة بين F و من خلال جدول تحليل التباين , ANOVA , ثم علاقة بقيمة المتغير العشوائي , .

اختبار معنوية المعالم ( t ) :

يستخدم اختبار t لتقييم معنوية تأثير المتغيرات المستقلة x 1,x 2,...x k في التغير التابع y في نموذج الانحدار المتعدد يعتمد على نوعين من الفروض :

فرضية العدم B 1 = B 2 = B 3 ...= B K = 0 H 0

الفرضية البديلة B 1 = B 2 # B 3 # ...B K = 0 H 1

وبعد احتساب قيمة ( t ) تقارن مع قيمتها الجدولية لتحديد قبول او رفض فرضية العدم ومن ثم تقييم معنوية معلمات النموذج المقدر ، والصيغة الرياضية لهذا الاختبار يمكن بيانها كما يلي :

ا – بالنسبة الى

ب – بالنسبة الى :

معامل التحديد R 2 Multiple Coefficient of determination

ويعد مؤشر أساس في تقييم مدى معنوية العلاقة بين المتغير التابع ( Y ) والمتغيرات المستقلة ( X K ) إذ ( k ، ... ، 1 = k ) ، بعبارة أخرى هو مقياس يوضح نسبة مساهمة المتغيرات المستقلة في تفسير التغير الحاصل في المتغير التابع . ويمكن اشتقاقه باستخدام المصفوفات بالانحرافات كآلاتي :

وبما أن التحديد الثاني الثالث قيمة واحدة كما وان كلا منها يمثل مبدلا للآخر فان :

بذلك يمكن كتابة معادلة الانحرافات الكلية كآلاتي :

إذ أن :

: تمثل الانحرافات الكلية .

: تمثل الانحرافات الموضحة من قيل خط الانحدار .

: تمثلا الانحرافات غير الموضحة .

وبما أن معامل التحديد R 2 عبارة عن نسبة الانحرافات الموضحة من قيل خط الانحدار إلى الانحرافات الكلية ، Total variation ، فانه يمثل نسبة مجموع مربعات التغير في المتغيرات المستقلة إلى مجموع المربعات الكلية :

أن إضافة متغيرات مستقلة جديدة إلى المعادلة يؤدي إلى رفع قيمة R 2 ، وذلك لثبات قيمة المقام وتغير قيمة البسط بمقدار غير أن الاستمرار بإضافة المتغيرات المستقلة سيؤدي إلى انخفاض درجات الحرية

( n-k-1 ) ، مما يتطلب استخراج معامل التحديد المعدل أو المصحح R -2 وعلى النحو الآتي :

اختبار إحصائية F ، F – Statistics

يستهدف هذا الاختبار معرفة مدى معنوية العلاقة الخطية بين المتغيرات المستقلة X 1 , X 2 , ...X K على المتغير التابع Y ، وكما هو الحال في الانحدار البسيط فأنه يعتمد على نوعين من الفروض :

فرضية العدم H0 : وتنص على انعدام العلاقة بين كل متغير من المتغيرات المستقلة X1,X2, … XK وبين المتغير التابع Y ، أي :

الفرضية البديلة H1 : وتنص على وجود علاقة معنوية بين المتغيرات المستقلة والمتغير التابع ، أي :

والصيغة الرياضية لهذا الاختبار هي :

وبعد احتساب قيمة F تقارن مع قيمتها الجدولية بدرجة حرية ( k ) و ( n-k-1 ) للبسط والمقام ولمستوى معنوية معين . فإذا كانت القيمة المحتسبة اكبر من القيمة الجدولية ترفض H 0 وتقبل H 1 أي أن العلاقة المدروسة معنوية ، وهناك على الأقل متغير مستقل واحد من المتغيرات XK ذو تأثير في Y . أما إذا كانت القيمة المحتسبة اصغر من الجدولية فان ذلك يعني قبول H 0 أي أن العلاقة الخطية المدروسة غير معنوية أي انه ليس ثمة تأثير من أي متغير من المتغيرات المستقلة على المتغير التابع .

جدول تحليل التباين ، ANOVA :

لغرض الوقوف على تأثير كل من X1 ، X 2 في المتغير التابع Y ، لابد من عمل جدول تحليل التباين لبيان اثر المتغيرين المستقلين X 1 ، X 2 في النموذج.

قياس حدود الثقة :

لاحتساب حدود الثقة لاية مشاهدة (نقطة ) من مشاهدات خط الانحدار للمجتمع او بعبارة اخرى لحساب القيمة المتوسطة الحقيقية ال Y عند مستوى معنوية معين للمتغير المستقل في النموذج . نفترض ان النقطة المراد تقدير حدود ثقتها هي E(Y 0) . ولتقدير المجال الذي يمكن ان تقع فيه قيمة E(Y 0) المقابلة لتشكيلة معينة من قيم المتغيرات المستقلة ( K ) يجب اشتقاق متباينة القيمة E(Y 0) .

وباختصار :

ولغرض اشتقاق المتباينة الخاصة بتقدير فترات حدود الثقة للقيمة E(Y 0) يجب اشتقاق وتباين القيمة وكالاتي :

لايجاد الوسط فاننا ناخذ القيمة المتوقعة ل :

ولايجاد التباين :

Var

واذا رمزنا للقيمة التقديرية لتبلين قيمة حدود الثقة بالرمز ، فان :

وعليه فان حدود الثقة للقيمة تكون :

اولا : التطبيق العملي ل لانحدار الخطي المتعدد

يستخدم الانحدار المتعدد لمعرفة الاثر او ا لعلاقة بين المتغيرات التفسيرية والمتغير المعتمد (متغير واحد) من خلال تقدير هذه العلاقة وبالشكل الاتي:

Y = f (X1, X2 , X3) ….(1)

ففي المعادلة السابقة نريد ان نعرف تاثير المتغيرات X1 و X2 و X3 على المتغير Y ، ونستعين بعلم الاحصاء لمعرفة العلاقة السالفة الذكر .

والمعادلة التقديرية حسب نموذج الانحدار الخطي المتعدد (بالنسة للمتغيرات المذكورة في المعادلة 1) تكون وفق الاتي :

Y = a + bX1 + cX2 + dX3 + u …………….. (2)

حيث تمثل :

ِ a : معامل التقاطع او الحد الثابت

b ، c ، d : تمثل معاملات معادلة الانحدار الخطي المتعدد (ميول) .

U ، تمثل الخطا القياسي او الخطا العشوائي للنموذج المقدر

ولتقدير النموذج السابق نستخدم طريقة المربعات الاعتيادية ( Ordinary Least Squares ) ، والبرنامج الاحصائي SPSS يقوم بشكل تلقائي بحساب المعاملات ( a و b و c و d )

ثانيا : معنوية معاملات معادلة الانحدار المتعدد

بعد الحصول على نتائج معادلة الانحدار (المعاملات a و b و c و d ) يجب علينا ان نبين هل ان هذه المعاملات مقبولة من الناحية الاحصائية (معنوية احصائيا) مع التنويه ان المعنوية تكون لكل معامل على حدة ، لكي نحكم على معنوية معاملات الانحدار نستعين باختبار T او احصائية t ، ومستوى الاحتمالية المقابل لها ، وبرنامج SPSS يقوم تلقائيا باستخراج اختبار t ومستوى الاحتمالية المقابل لها.

ثالثا : المعنوية الاجمالية لنموذج الانحدار

هناك احصائيات تستخدم لمعرفة المعنوية الاجمالية للنموذج ومنها R R 2 R 2- ، الاول R هي معامل الارتباط البسيط (يقيس قوة ا لعلاقة بين متغيرين او اكثر ) اما R 2 فهو يسمى معامل التحديد ، وهو يستخدم لمعرفة القوة التفسيرية للنموذج المقدر (المعادلة المقدرة) في حالة الانحدار الخطي البسيط (متغير مستقل واحد مع متغير معتمد واحد) ، اما R 2- فهو يستخدم لتفسير القوة التفسيرية لنموذج الانحدار الخطي المتعدد (لانه ياخذ بنظر الاعتبار عدد المتغيرات المستقلة ولذلك يسمى بالمصحح ، لانه بالاصل مشتق من R 2 ) . وايضا تستخدم احصائية F للحكم على معنوية النموذج المقدر ككل عند مستوى معنوية معين (مستوى احتمال ).

رابعا : التطبيق العملي باستخدام البرنامج الاحصائي SPSS

اذا توفرت لدينا البيانات الاتية :

السنوات	الكمية Y	السعر X1	الدخل X2	سعر السلعة البديلة X3
1981	40	9	400	10
1982	45	8	500	14
1983	50	9	600	12
1984	55	8	700	13
1985	60	7	800	11
1986	70	6	900	15
1987	65	6	1000	16
1988	65	8	1100	17
1989	75	5	1200	22
1990	75	5	1300	19
1991	80	5	1400	20
1992	100	3	1500	23
1993	90	4	1600	18
1994	95	3	1700	24
1995	85	4	1800	21

تمثل هذه البيانات العلاقة بين الكمية من سلعة معينة ( Y ) والعوامل المؤثرة علها وهي السعر ( X1 ) ، دخل المستهلك ( X2 ) بالدولار ، سعر السلعة البديلة ( X3 ) .

وحسب النظرية الاقتصادية هناك علاقة بين المتغير المعتمد وهو الكمية المطلوبة والمتغيرات التفسيرية (المستقلة )الاخرى وهي (السعر ، الدخل ، سعر السلعة البديلة )

ويمكن معرفة الاثر او ا لعلاقة بين المتغيرات التفسيرية والمتغير المعتمد من خلال تقدير هذه العلاقة وبالشكل (شكل العلاقة ) الاتي:

Y = f (X1, X2 , X3) ….(1)

والمعادلة التقديرية حسب نموذج الانحدار الخطي المتعدد تكون وفق الاتي :

Y = a + bX1 + cX2 + dX3 + u …………….. (2)

حيث تمثل :

ِ a : معامل التقاطع او الحد الثابت

b ، c ، d : تمثل معاملات دالة معادلة الانحدار الخطي المتعدد

U ، تمثل الخطا القياسي او الخطا العشوائي للنموذج المقدر

ولتقدير النموذج السابق نستخدم طريقة المربعات الاعتيادية ( Ordinary Least Squares )

للحصول على معاملات النموذج السالف الذكر في (2) .

ويمكن استخدام البرنامج الاحصائي الممتاز SPSS الاصدار 11.0 في الحصول على نتائج تقدير معادلة الانحدار الخطي المتعدد وكما يلي

اولا : نقوم بادخال البيانات في محرر بيانات SPSS

ثانيا : نقوم بتسمية المتغيرات كما في الشكل الاتي

ثالثا : نذهب الى قائمة analyze ونختار منها الامر Regression ومن القائمة الفرعية نختار Linear ، كما في الشكل الاتي :

رابعا : من نافذة تحليل الانحدار نقوم بتحديد المتغير المعتمد ( Y ) وننقله الى خانة المتغير المعتمد ، نحدد المتغيرات المستقلة وننقلها الى خانة المتغيرات المستقلة ، ثم ننقر OK كما في الشكل الاتي :

خامسا : سوف نحصل على شاشة المخرجات الآتية : Regression

تحليل النتائج التي حصلنا عليها من SPSS

اولا: التحليل الإحصائي

الجدول الأول يمثل طريقة الانحدار المستخدمة وهي طريقة Enter حيث يتبين ان البرنامج قام بادخال جميع المتغيرات المستقلة في معادلة الانحدار الخطي المتعدد.

الجدول الثاني : يوضح الجدول الثاني قيم معامل الارتباط الثلاثة وهي معامل الارتباط البسيط R حيث بلغ 0.97 ومعامل التحديد R 2 وهو يساوي 0.95 واخيرا معامل التحديد المصحح R 2- والذي بلغ 0.94 مما يعني ان المتغيرات المستقلة (التفسيرية ) (السعر ، الدخل ، سعر السلعة الاخرى ) استطاعت ان تفسر 0.94 من التغيرات الحاصلة في الكمية المطلوبة ( Y ) والباقي (0.06) يعزى الى عوامل اخرى.

الجدول الثالث : يمثل الجدول الثاني جدول تحليل التباين والذي يمكن المعرفة من خلاله على القوة التفسيرية للنموذج ككل عن طريق احصائية F وكما نشاهد من جدول تحليل التباين المعنوية العالية لاختبار F ( P < 0.0001 ) . مما يؤكد القوة التفسيرية العالية لنموذج الانحدار الخطي المتعدد من الناحية الاحصائية .

الجدول الرابع : يبين الجدول الرابع والأخير قيم معاملات الانحدار للمقدرات والاختبارات المعنوية الاحصائية لهذه المعاملات ويمكن تلخيص هذه الجدول بالشكل الاتي

المتغيرات المستقلة				المتغير المعتمد
X3	X2	X1	الحد الثابت	Y
0.17	1.6	4.93 -	79.1	قيمة المعامل
0.275	2.146	-3.059	3.99	قيم اختبار T
0.789	0.055	0.01	0.002	المعنوية

من الجدول نستنتج ان المتغيرات المستقلة (سعر السلعة) كان معنوي من الناحية الاحصائية وحسب اختبار t (عند مستوى معنوية P ≤ 0.05 ) ، في حين كاد متغير الدخل ان يكون معنوي (عند مستوى معنوية P ≤ 0.05 ) . الا ان المتغير المستقل (سعر السلعة البديلة ) لم يكن ذو تاثير معنوي في نموذج الانحدار المتعدد وحسب اختبار t .

التحليل الاقتصادي :

حسب منطق النظرية الاقتصادية ، الكمية المطلوبة من سلعة معينة ترتبط بعلاقة عكسية مع السعر ، وبعلاقة طردية مع الدخل ، وبعلاقة طردية مع سعر السلعة البديلة ، ومن النتائج التي حصلنا عليها نجد الاتي : (جميع الاشارات كانت مطابقة مع النظرية الاقتصادية)

ان معامل السعر كان ( 4.93 -) وهذا مطابق لمنطق النظرية الاقتصادية ، مما يعني ان كل زيادة في السعر بمقدار دولار واحد سيؤدي الى انخفاض الكمية المطلوبة بمقدار 5 وحدات تقريبا (4.93) ، اما فيما يخص الدخل ، ايضا كان مطابق للنظرية الاقتصادية حيث كان ( 1. 6 ) مما يعني انه كل زيادة في الدخل بمقدار دولار واحد ستؤدي الى ارتفاع الكمية المطلوبة يمقدار ( 1.6 ) وحدة ، واخيرا بالنسبة لعامل السلعة البديلة ، نجد ان ه ايضا مطابق للنظرية الاقتصادية حيث بلغت قيمته ( 0.17 ) ، أي انه اذا ازداد الكمية المطلوبة من السلعة بمقدار وحدة واحدة فان الطلب على السلعة البديلة سوف يزداد بمقدار 0.17 وحدة .

بسم الله الرحمن الرحيم

333

الأربعاء، 30 مارس 2016

الانحدار الخطي المتعدد Multiple Linear Regression

ثانيا : معنوية معاملات معادلة الانحدار المتعدد

رابعا : التطبيق العملي باستخدام البرنامج الاحصائي SPSS

السنوات

المتغيرات المستقلة

المتغير المعتمد

قيمة المعامل

2016